Ich möchte folgendes Gedankenspiel mit euch unternehmen:
Man nehme ein Quadrat der Kantenlänge 4a. In diesem Quadrat befinden sich vier gleiche Kreise mit dem Radius a, diese sind (gezwungenermaßen) in den Ecken des Quadrates angeordnet. Weiterhin befindet sich genau in der Mitte des Quadrates ein weiterer Kreis mit dem Radius r, der die anderen vier Kreise berührt. Das ganze schaut folgendermaßen aus:
Meine Frage nun: Was geschieht, wenn wir dieses Beispiel sukzessive auf höhere Dimensionen ausweiten wollen? In der nächsten, also der dritten Dimension kann man sich das noch vorstellen: acht Kugeln in den Ecken eines Würfels, in der Mitte die kleine zentrale Kugel. Aber in den nachfolgenden Dimensionen kommen die meisten nicht mehr mit. Was meint ihr, wie wird sich die Größe der zentralen (Hyper-)Kugel im Vergleich zum umgebenden (Hyper-)Würfel ändern?
Du möchtest mehr erfahren? ▼
Dazu ist es erst einmal nötig, den Radius
r der zentralen (Hyper-)Kugel zu berechnen. Dabei hilft uns der Satz des Pythagoras, schließlich ist das oben eingezeichnete Dreieck ein rechtwinkliges.
Nach der Umstellung unter Zuhilfenahme der ersten binomischen Formel brauchen wir nur noch die beliebte p-q-Formel, um nach r umzustellen:
Was können wir daraus erkennen? Erst einmal nicht viel, nur dass in der zweiten Dimension der Radius r etwa 0,414a beträgt. Aber schauen wir, wie das Verhältnis zwischen r und a in der dritten Dimension ist:
Hier müssen wir beachten, dass ein weiterer Summand hinzukommt, weil wir ja eine weitere Dimension betrachten (siehe „Euklidischer Abstand“, jedoch können wir für jedes x-y einfach a einstzen, da der Radius a ja in alle Richtungen gleich ist).
Wenn wir uns in die dritte Dimension begeben, wird offensichtlich der Radius der zentralen Kugel gegenüber dem des Kreises aus der zweiten Dimension größer, denn hier beträgt r schon 0,732a. Wenn wir das also für die nachfolgenden Dimensionen fortspinnen wollen, dann wird der Radius r in der n-ten Dimension folgende Größe haben:
Folglich wird die zentrale Hyperkugel im Vergleich zum sie umgebenden Hyperwürfel immer größere Ausmaße annehmen, in der 4. Dimension wird sie genauso groß sein wie die sie umgebenden 16 anderen Hyperkugeln, denn für n = 2 ist r = a. In den folgenden Dimensionen wird sie weiter an Größe zunehmen, schließlich wird sie in der neunten Dimension sogar den Hyperwürfel von innen berühren und in den darauf folgenden Dimensionen wird die Hyperkugel sogar aus ihm heraustreten.
Na, wer hätte das gewußt?
Ein Schnippchen geschlagen?!
Currently listening to: Die goldenen Zitronen - Mila
Eingetragen von Earl Mobile
In der Kategorie Uncategorized
Kommentieren